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    （2012•宽城区一模）如图，在平面直角坐标系中，有一矩形ABCD，已知A（1，3），B（3，3），D（1，-1）．有两条抛物线l1、l2都经过A、B两点，且关于AB所在直线对称，其中抛物线l1经过原点，抛物线l2交y轴于点E．设P、Q两点分别在抛物线l1、l2上运动．
    （1）求抛物线l1的解析式．
    （2）直接写出抛物线l2的解析式．
    （3）当四边形ADPQ为平行四边形时，求点P的横坐标．
    （4）当点P运动到抛物线l1的顶点时，设直线PQ的解析式y=kx+b．
    ①若直线PQ经过点D，交线段AB于F，求△ADF的面积．
    ②若直线PQ分得矩形ABCD较小部分的面积大于0且不超过矩形ABCD面积的
    1
    5
    ，直接写出b的取值范围．
    【参考公式：二次函数y=ax2+bx+c图象的顶点坐标为（-
    b
    2a
    ，
    4ac-b2
    4a
    ）】
    分析：（1）抛物线l1经过原点，可将其解析式设为y=ax2+bx，代入A、B两点的坐标后，利用待定系数法即可得解．
    （2）抛物线l1、l2关于直线AB对称，那么它们的开口大小相同、开口方向相反（即二次项系数互为相反数），顶点关于直线AB对称；所以先根据l1的顶点得到l2的顶点坐标，再直接将抛物线l2写成顶点式即可．
    （3）“四边形ADPQ”说明了四边形的顶点排序，即：AD、PQ为平行四边形的边，所以AD∥PQ，且PQ=AD，因此PQ与y轴平行（P、Q两点横坐标相同），首先设出P、Q点的坐标，得到线段PQ长的表达式后，令其值等于AD长，通过解方程即可确定P点的坐标．
    （4）①直线PQ经过点D，即P、Q、D三点共线，所以题干条件也可视为“直线DP与AB的交点为F”，所以先求出直线DP的解析式，直线AB的解析式易知，则F点坐标可得，以AD、DF为直角边，则△ADF的面积可求；
    ②通过①的答案不难发现：△ADF的面积恰好是矩形面积的
    1
    5
    ，所以求出直线PA、PD、PB、PC的解析式后，再观察b的取值范围即可．
    解答：解：（1）依题意，设抛物线l1：y=ax2+bx，代入A（1，3），B（3，3），得：
    a+b=3
    9a+3b=3
    ，解得
    a=-1
    b=4

    ∴抛物线l1：y=-x2+4x．

    （2）由（1）知，抛物线l1的顶点（2，4），则抛物线l2顶点（2，2）；
    抛物线l1、l2关于直线AB对称，则抛物线l2：y=-（x-2）2+2=x2-4x+6．

    （3）当四边形ADPQ为平行四边形时，AD、PQ为平行四边形的边，则PQ∥y轴，且PQ=AD=4；
    设P（x，-x2+4x），则Q（x，x2-4x+6），PQ=x2-4x+6-（-x2+4x）=2x2-8x+6
    依题意，有：2x2-8x+6=4，解得x=2±
    		3

    ∴点P的横坐标为2±
    		3
    ．

    （4）由（2）知，点P的坐标（2，4）；
    ①直线PQ：y=kx+b，代入P（2，4）、D（1，-1），得：
    2k+b=4
    k+b=-1
    ，解得
    k=5
    b=-6

    ∴直线PQ即直线PD：y=5x-6，点F（
    9
    5
    ，3）；
    ∴S△ADF=
    1
    2
    ×（
    9
    5
    -1）×4=
    8
    5
    ．
    ②由①的计算结果知，右图每个阴影部分的面积都“大于0且不超过矩形ABCD面积的
    1
    5
    ”；
    由P（2，4）、A（1，3）、D（1，-1）、C（3，-1）、B（3，3），可得：
    直线PA：y=x+2，直线PD：y=5x-6；
    直线PB：y=-x+6，直线PC：y=-5x+14；
    因此，b的取值范围：-6≤b＜2或6＜b≤14．
    点评：此题主要考查了利用待定系数法确定函数解析式、轴对称图形的性质、平行四边形的判定、三角形的面积等重点知识；（3）题中，注意题干给出的四边形的顶点排序能大大减小计算难度；最后一题的难度较大，找出对应的四条直线是解题的关键，此外还用注意“不超过”包含的不等式关系．
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    ．
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    y 7 0 -8 -9 m -5 7

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