Question

如图，以M（﹣5，0）为圆心、4为半径的圆与x轴交于A．B两点，P是⊙M上异于A．B的一动点，直线PA．PB分别交y轴于C．D，以CD为直径的⊙N与x轴交于E、F，则EF的长（　　）

　 A． 等于4                      B． 等于4                      C． 等于6                           D． 随P点

Answer 1

考点：垂径定理；勾股定理；相似三角形的判定与性质。

专题：计算题。

分析：连接NE，设圆N半径为r，ON=x，则OD=r﹣x，OC=r+x，证△OBD∽△OCA，推出OC：OB=OD：OA，即（r+x）：1=9：（r﹣x），求出r²﹣x²=9，根据垂径定理和勾股定理即可求出答案．

解答：解：连接NE，

设圆N半径为r，ON=x，则OD=r﹣x，OC=r+x，

∵以M（﹣5，0）为圆心、4为半径的圆与x轴交于A．B两点，

∴OA=4+5=9，0B=5﹣4=1，

∵AB是⊙M的直径，[来源:学§科§网Z§X§X§K]

∴∠APB=90°，

∵∠BOD=90°，

∴∠PAB+∠PBA=90°，∠ODB+∠OBD=90°，

∵∠PBA=∠OBD，

∴∠PAB=∠ODB，

∵∠APB=∠BOD=90°，

∴△OBD∽△OCA，

∴=，

即=，

解得：r²﹣x²=9，

由垂径定理得：OE=OF，OE²=EN²﹣ON²=r²﹣x²=9，

即OE=OF=3，

∴EF=2OE=6，

故选C．

点评：本题考查了勾股定理，垂径定理，相似三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出OE=OF和r²﹣x²=9，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．