Question

如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O交AC边于点D，且过点D的⊙O的切线DE平分BC边，交BC于E．
（1）求证：BC是⊙O的切线．
（2）当△ABC满足什么条件时，以点O、B、E、D为顶点的四边形是正方形？

Answer 1

解：（1）连接OD、OE，
∵O为AB的中点，E为BC的中点，
∴OE为△ABC的中位线，
∴OE∥AC（三角形中位线性质），
∴∠DOE=∠ODA，∠BOE=∠A（平行线性质），
∵OA=OD
∴∠A=∠ODA
∴∠DOE=∠BOE（等量代换）
∵OD=OB，OE=OE
∴△ODE≌△OBE（边角边）
∴∠ODE=∠OBE
∵DE是⊙O的切线
∴∠ODE=∠OBE=90°
∴OB⊥BC
∴BC是⊙O的切线．

（2）当为等腰三角形（AB=BC）时四边形OBDE是正方形，证明如下：
连接BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴BD⊥AC（直径所对的圆周角为直角），
∵AB=BC，
∴D为AC的中点（等腰三角形的性质），
∵E为BC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥AB，
∵DE为⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∴OD⊥AB，
∴∠DOB=∠OBE=∠ODE=90°，
∵OD=OB，
∴四边形OBED为正方形．
分析：（1）要证BC是⊙O的切线，就要证OB⊥BC，只要证∠OBE=90°即可，首先作辅助线，连接OD、OE，由已知得OE为△ABC的中位线，OE∥AC，从而证得△ODE≌△OBE，推出∠ODE=∠OBE，又DE是⊙O的切线，所以得∠OBE=90°，即OB⊥BC，得证．
（2）由题意使四边形OBED是正方形，即得到OD=BE，又由已知BE=CE，BC=2BE，AB=2OD，所以AB=BC，即△ABC为等腰三角形（AB=BC）．再通过△ABC为等腰三角形（AB=BC）论证以点O、B、E、D为顶点的四边形是正方形．
点评：此题是切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定性质、圆周角定理的综合运用．解题的关键是通过作辅助线证明三角形全等，得到∠OBE=90°，即OB⊥BC得出结论．第二问关键是通过以点O、B、E、D为顶点的四边形是正方形推出△ABC为等腰三角形（AB=BC）．然后加以论证．