Question

16．如图，射线OC，与x轴的夹角为30^o，在射线OC上取一点A，过点A作AH⊥x轴于点H．在抛物线y=x²（x＞0）上取点P，在y轴上取点Q，使得以P、O、Q为顶点的三角形与△AOH全等，则符合条件的点A的个数是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 此题应分四种情况考虑：
①∠POQ=∠OAH=60°，此时A、P重合，可联立直线OA和抛物线的解析式，即可得A点坐标；
②∠POQ=∠AOH=30°，此时∠POH=60°，即直线OP：y=$\sqrt{3}$x，联立抛物线的解析式可得P点坐标，进而可求出OQ、PQ的长，由于△POQ≌△AOH，那么OH=OQ、AH=PQ，由此得到点A的坐标．
③当∠OPQ=90°，∠POQ=∠AOH=30°时，此时△QOP≌△AOH；
④当∠OPQ=90°，∠POQ=∠OAH=60°，此时△OQP≌△AOH；
则可求得答案．

解答 解：
①当∠POQ=∠OAH=60°时，此时A、P重合，可联立直线OA和抛物线的解析式，即可得A点坐标；
②当∠POQ=∠AOH=30°时，此时∠POH=60°，即直线OP：y=$\sqrt{3}$x，
联立抛物线的解析式可得P点坐标，进而可求出OQ、PQ的长，由于△POQ≌△AOH，那么OH=OQ、AH=PQ，由此得到点A的坐标；
③当∠OPQ=90°时，∠POQ=∠AOH=30°时，此时△QOP≌△AOH；
④当∠OPQ=90°时，∠POQ=∠OAH=60°，此时△OQP≌△AOH；
综上可知满足条件的A点有4个，
故选D．

点评 本题主要考查的是全等三角形的判定和性质以及函数图象交点坐标的求法；由于全等三角形的对应顶点不明确，因此要注意分类讨论思想的运用．