Question

已知：如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点A（6，0）和点B（3，）．

（1）求抛物线的解析式；
（2）将抛物线沿x轴翻折得抛物线，求抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点M，使与相似？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，说明理由．

Answer 1

(1) ；（2）；（3），，．

解析试题分析：（1）把A、B两点坐标代入y₁=ax²+bx,求得a、b的值，从而确定y₁的解析式；
（2）将抛物线沿x轴翻折后，仍过点O（0，0），A（6，0），还过点B关于x轴的对称点．从而可求y₂的解析式；
（3）过点B作BC⊥x轴于点C，易证是顶角为120º的等腰三角形．分两种情况讨论：①当点M在x轴下方时，就是，此时点M的坐标为．②当点M在x轴上方时，此时点M的坐标为（9，）、．
试题解析：（1）依题意，得  解得
∴抛物线的解析式为
（2）将抛物线沿x轴翻折后，仍过点O（0，0），A（6，0），还过点B关于x轴的对称点．
设抛物线的解析式为，
∴   解得
∴抛物线的解析式为．
（3）过点B作BC⊥x轴于点C，

则有．
∴，．
∵OC=3，OA=6，
∴AC=3.
∴，．
∴OB=AB．
即是顶角为120º的等腰三角形．
分两种情况：
①当点M在x轴下方时，就是，此时点M的坐标为．
②当点M在x轴上方时，假设，则有AM=OA=6，．
过点M作MD⊥x轴于点D，则．
∴，． ∴OD=9.
而（9，）满足关系式，
即点M在抛物线上．
根据对称性可知，点也满足条件．
综上所述，点M的坐标为，，．
考点:二次函数综合题．