Question

在△ABC中，∠ACB=2∠B，AD为△ABC的角平分线，在AB上截取AE=AC，连接DE.

（1）如图①，当∠C=90°时，线段AB，AC，CD有怎样的数量关系？请给出证明.

（2）如图②，当∠C≠90°时，线段AB，AC，CD有怎样的数量关系？不需要证明，直接写出你的猜想.

Answer 1

（1）AB=AC+CD·

证明：∵ AD平分∠BAC，

∴ ∠CAD=∠BAD.  

在△ACD和△ BAC中，

∵ AC=AE，∠CAD=∠BAD，AD=AD，

∴ △ACD≌△AED. ·

∴ CD=ED，∠ACD=∠AED.  ∵ ∠ACD=90°=2∠B， ∴∠AED=90°=2∠B，

∴ ∠B=45°.

∴ ∠EDB=45°，

∴ ∠B=∠EDB，

∴ BE=ED.· ∴ BE=CD.

∵ AB=AE+BE,

∴ AB=AC+CD.

（2）AB=AC+CD.·