Question

在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F，
（1）试猜想∠MAN的大小并说明理由．
（2）试证：BM=MN=NC．

Answer 1

解：（1）∠MAN=60°．
理由：∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，
∵ME是AB的垂直平分线，NF是AC的垂直平分线，
∴AM=BM，AN=CN，
∴∠B=∠BAM=30°，∠C=∠CAN=30°，
∴∠MAN=∠BAC-∠BAM-∠CAN=60°；

（2）证明：∵∠B=∠BAM=30°，∠C=∠CAN=30°，
∴∠AMN=∠ANM=60°，
∵∠MAN=60°，
∴△AMN是等边三角形，
∴AM=AN=MN，
∵AM=BM，AN=CN，
∴BM=MN=NC．
分析：（1）由AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F，根据线段垂直平分线的性质，可得AM=BM，AN=CN，继而求得∠B=∠BAM=30°，∠C=∠CAN=30°，则可求得∠MAN的大小；
（2）由∠B=∠BAM=30°，∠C=∠CAN=30°，易证得△AMN是等边三角形，则可证得BM=MN=NC．
点评：此题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及等边三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．