Question

6．如图，一圆弧形桥拱的圆心为E，拱桥的水面跨度AB=80米，桥拱到水面的最大高度DF为20米．求：
（1）桥拱的半径；
（2）现水面上涨后水面跨度为60米，求水面上涨的高度为10米．

Answer 1

分析 （1）根据垂径定理和勾股定理求解；
（2）由垂径定理求出MH，由勾股定理求出EH，得出HF即可．

解答 解：（1）如图，设点E是拱桥所在的圆的圆心，作EF⊥AB于F，延长EF交圆于点D，
则由垂径定理知，点F是AB的中点，AF=FB=$\frac{1}{2}$AB=40，EF=ED-FD=AE-DF，
由勾股定理知，AE²=AF²+EF²=AF²+（AE-DF）²，
设圆的半径是r，
则：r²=40²+（r-20）²，
解得：r=50；
即桥拱的半径为50米；
（2）设水面上涨后水面跨度MN为60米，MN交ED于H，连接EM，如图2所示
则MH=NH=$\frac{1}{2}$MN=30，
∴EH=$\sqrt{5{0}^{2}-3{0}^{2}}$=40（米），
∵EF=50-20=30（米），
∴HF=EH-EF=10（米）；
故答案为：10．

点评 本题考查了垂径定理和勾股定理的运用；由垂径定理和勾股定理求出半径是解决问题的关键．