Question

如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，M、N分别为AD、BC的中点，MN交AC、BD于E、F．
求证：BD•OE=AC•OF．

Answer 1

分析：取AB的中点G，连接GM，GN，根据中位线定理可以求得GM=

1

2

BD，GN=

1

2

AC，进而可以求证△GMN∽△OFE，即可证明BC•OE=AC•OF，即可解题．

解答：解：如图，取AB的中点G．
连接GM，GN，
∵M、N分别为AD，BC中点，
∴GM∥BD，GM=

1

2

BD，GN∥AC，GN=

1

2

AC，
∴∠GMN=∠OFE，∠GNM=∠OEF，
∴△GMN∽△OFE，
∴GM：OF=GN：OE，
即

1

2

BD：OF=

1

2

AC：OE，
∴BD•OE=AC•OF．

点评：本题考查了中位线定理，考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形对应边比值相等的性质，本题中求证△GMN∽△OFE是解题的关键．