Question

已知PH是Rt△ABC斜边AC的垂直平分线，垂足为点H，并交直角边AB于点P，点D是PH上一点，且AD是AP与AB的比例中项，求证：△ACD是等腰直角三角形．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,线段垂直平分线的性质,等腰直角三角形

专题：证明题

分析：先证△PHA∽CBA，推出AH•AC=AP•AB，求出

AD

AC

=

AH

AD

，推出△ADH∽△ACD，求出∠ADC=∠AHD=90°，即可得出答案．

解答：
证明：∵PH是AC的垂直平分线，
∴∠AHD=90°，CD=AD，∠PHA=∠B=90°，
∵∠PAH=∠BAC，
∴△PHA∽CBA，
∴

AH

AB

=

AP

AC

，
∴AH•AC=AP•AB，
∵AD是AP与AB的比例中项，
∴AD²=AP•AB，
∴AH•AC=AD²，
∴

AD

AC

=

AH

AD

，
∵∠DAH=∠DAC，
∴△ADH∽△ACD，
∴∠ADC=∠AHD=90°，
∵CD=AD，
∴△ACD是等腰直角三角形．

点评：本题考查了相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目比较好，难度适中．