Question

如图，△ABC内接于⊙O，D是的中点，DE为直径，EM⊥AB于M，EN⊥AC于N．
（1）求证：EM=EN；
（2）已知：AB=5cm，AC=3cm，求AN的长；
（3）在（2）的条件下，若DE平分AB，求sin∠DEM的值．

Answer 1

（1）证明：连BE、EC、AE，
∵D是的中点，DE为直径，
∴点E是的中点，
∴=，
∵四边形AEBC是圆内接四边形，
∴∠EAN=∠CBE=∠BAE，
∵EM⊥AB于M，EN⊥AC于N，
∴∠AME=∠ANE=90°，
在△AEM与△AEN中，
，
∴△AEM≌△AEN（AAS），
∴EM=EN；

（2）∵由（1）知△AEM≌△AEN，
∴EM=EN，AN=AM，
∵=，
∴BE=CE，
在Rt△BME与Rt△CNE中，
，
∴Rt△BME≌Rt△CNE（HL），
∴BM=CN，即AB-AM=AB-AN=AC+AN，
∴AN===1cm；

（3）∵DE是直径，
∴当DE平分AB时，AB也是直径，
∴∠ACB=90°，
设DE、BC交于点G，
在△BOG与△EOM中，
，
∴△BOG≌△EOM（AAS），
∴∠ABC=∠DEM，
∴sin∠DEM=sin∠ABC==．
分析：（1）连BE、EC、AE，根据D是的中点，DE为直径，可得出点E是的中点，所以=，再由四边形AEBC是圆内接四边形可得出∠EAN=∠CBE=∠BAE，根据AAS定理可知△AEM≌△AEN，故可得出结论；
（2））根据（1）中△AEM≌△AEN，得出EM=EN，AN=AM，故=，BE=CE，再由HL定力得出Rt△BME≌Rt△CNE，故BM=CN，即AB-AM=AB-AN=AC+AN，AN=，由此即可得出结论；
（3））根据DE是直径可知当DE平分AB时，AB也是直径，故∠ACB=90°，设DE、BC交于点G，根据AAS定理得出△BOG≌△EOM，故∠ABC=∠DEM，sin∠DEM=sin∠ABC=，由此即可得出结论．
点评：本题考查的是圆的综合题，涉及到圆内接四边形的性质、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义等知识，难度较大．