Question

如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，BC=2，E为AB上任意一动点，以CE为斜边作等腰直角△CDE，连接AD，
（1）当点E运动过程中∠BCE与∠ACD的关系是______．
（2）AD与BC有什么位置关系？说明理由．
（3）四边形ABCD的面积是否有最大值？如果有，最大值是多少？如果没有，说明理由．

Answer 1

解：（1）∵△ABC、△DCE都是等腰直角三角形，BC=2，
∴AB=AC=BC=，CD=DE=CE，∠B=∠ACB=∠DEC=∠DCE=45°；
∵∠ACB=∠DCE=45°，
∴∠ACB-∠ACE=∠DCE-∠ACE；即∠BCE=∠ACD．
故答案为：相等；

（2）AD∥BC，理由如下：
∵△ABC、△DCE都是等腰直角三角形，
∴==，
∴=，
∵由（1）知∠ECB=∠DCA，
∴△BEC∽△ADC，
∴∠DAC=∠B=45°；
∴∠DAC=∠BCA=45°，
∴AD∥BC；

（3）四边形ABCD的面积有最大值，理由如下：
∵△ABC的面积为定值，
∴若梯形ABCD的面积最大，则△ACD的面积最大；
∵△ACD中，AD边上的高为定值（即为1），
∴若△ACD的面积最大，则AD的长最大；
∵△BEC∽△ADC，
∴当AD最长时，BE也最长；
∴梯形ABCD面积最大时，E、A重合，此时EC=AC=，AD=1；
故S_梯形ABCD=（1+2）×1=．
分析：（1）先根据等腰三角形的性质得出AB=AC=BC=，CD=DE=CE，∠B=∠ACB=∠DEC=∠DCE=45°；再由∠ACB-∠ACE=∠DCE-∠ACE即可得出结论；
（2））因为△ABC、△DCE都是等腰Rt△，所以==，所以=，由（1）知∠ECB=∠DCA，故△BEC∽△ADC，所以∠DAC=∠B=45°，∠DAC=∠BCA=45°，由此即可得出结论；
（3））因为△ABC的面积为定值，所以若梯形ABCD的面积最大，则△ACD的面积最大；在△ACD中，AD边上的高为定值（即为1），所以若△ACD的面积最大，则AD的长最大；由（2）知△BEC∽△ADC，所以当AD最长时，BE也最长；所以梯形ABCD面积最大时，E、A重合，此时EC=AC=，AD=1，再由梯形的面积公式即可得出结论．
点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质，涉及到等腰直角三角形的性质、平行线的判定、相似三角形的判定和性质、图形面积的求法等知识，综合性强，难度较大．