Question

如图，在边长为2的正方形ABCD中，以点D为圆心、DC为半径作，点E在AB上，且与A、B两点均不重合，点M在AD上，且ME=MD，过点E作EF⊥ME，交BC于点F，连接DE、MF．

（1）求证：EF是所在⊙D的切线；
（2）当MA=时，求MF的长；
（3）试探究：△MFE能否是等腰直角三角形？若是，请直接写出MF的长度；若不是，请说明理由．

Answer 1

解：（1）证明：过点D作DG⊥EF于G，

∵ME=MD，∴∠MDE=∠MED。
∵EF⊥ME，∴∠DME+∠GED=90°。
∵∠DAB=90°，∴∠MDE+∠AED=90°。
∴∠AED=∠GED。
在△ADE和△GDE中，
∵∠AED=∠GED，∠DAE=∠DGE=90°，DE=DE，
∴△ADE≌△GDE（AAS）。∴AD=GD。
∵的半径为DC，即AD的长度，∴EF是所在⊙D的切线。
（2）MA=时，ME=MD=2﹣=，
在Rt△AME中，，
∴BE=AB﹣AE=2﹣1=1。
∵EF⊥ME，∴∠1+∠2=180°﹣90°=90°。
∵∠B=90°，∴∠2+∠3=90°。∴∠1=∠3。
又∵∠DAB=∠B=90°，∴△AME∽△BEF。
∴，即，解得EF=。
在Rt△MEF中，。
（3）不能。理由如下：
假设△MFE能是等腰直角三角形，则ME=EF。
∵在△AME和△BEF中，，∴△AME≌△BEF（AAS）。∴MA=BE。
设AM=BE=x，则MD=AD﹣MA=2﹣x，AE=AB﹣BE=2﹣x。
∵ME=MD，∴ME=2﹣x。∴ME=AE。
∵ME、AE分别是Rt△AME的斜边与直角边，∴ME≠AE。
∴假设不成立。
∴△MFE不能是等腰直角三角形。

试题分析：（1）过点D作DG⊥EF于G，根据等边对等角可得∠MDE=∠MED，然后根据等角的余角相等求出∠AED=∠GED，再利用“角角边”证明△ADE和△GDE全等，根据全等三角形对应边相等可得AD=GD，再根据切
线的定义即可得证。
（2）求出ME=MD=，然后利用勾股定理列式求出AE，再求出BE，根据同角的余角相等求出∠1=∠3，然后求出△AME和△BEF相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出EF，再利用勾股定理列式计算即可得解。
（3）应用反证法，假设△MFE能是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得ME=EF，先利用“角角边”证明△AME和△BEF全等，根据全等三角形对边角相等可得AM=BE，设AM=BE=x，然后表示出MD，AE，再根据ME=MD，从而得到ME=AE，根据直角三角形斜边大于直角边可知△MEF不可能是等腰直角三角形。