Question

（2008•上城区模拟）边长为1的正方形绕着它的一个顶点旋转45°，旋转得到的正方形与原正方形重叠部分的面积等于（　　）

• A．

  1

  4

• B．2-

  2

• C．

  2

  -1
• D．

  2

  5

Answer 1

分析：作CE⊥AD，CF⊥AB．则直角三角形BCF是等腰直角三角形．根据重叠部分的面积=梯形ABCF的面积-S_△CEF即可求解．

解答：解：作CE⊥AD，CF⊥AB．
∴直角三角形BCF是等腰直角三角形．
∴∠FBC=45°，
cos45°=

BF

BC

，
∴BF=BC•

2

2

=

2

2

，
∴CE=1-BF=1-

2

2

=

2- 2

2

．
△CED是等腰直角三角形，则S_△CEF=

1

2

CE•DE=

1

2

×

2- 2

2

×

2- 2

2

=

3-2 2

4

．
梯形ABCF的面积是：

1

2

（CE+AB）•CF=

1

2

（

2- 2

2

+1）•

2

2

=

2 2 -1

4

．
∴重叠部分的面积=梯形ABCF的面积-S_△CEF=

2 2 -1

4

-

3-2 2

4

=

2

-1．
故选C．

点评：本题主要考查了正方形的性质，以及旋转的性质，正确作出辅助线，理解重叠部分的面积=梯形ABCF的面积-S_△CEF是解题关键．