Question

如图，在矩形纸片ABCD中，AB=8，AD=4，把矩形沿直线AC折叠，点B落在E处，连接DE，其中AE交DC于P．有下面四种说法：①AP=5；②△APC是等边三角形；③△APD≌△CPE；④四边形ACED为等腰梯形，且它的面积为25.6．其中正确的有（　　）个．

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

Answer 1

分析：分别根据图形翻折变换前后图形对应相等，以及利用勾股定理全等三角形的判定分别分析即可．

解答：解：①∵在矩形纸片ABCD中，AB=8，AD=4，矩形沿直线AC折叠，
∴∠BAC=∠CAE，
∵CD∥AB，
∴∠BAC=∠DCA，
∴∠DCA=∠PAC，
∴PC=PA，
假设PC=x，则PA=x，
∴DP=8-x，
∴AD²+DP²=AP²，
∴4²+（8-x）²=x²，
解得：x=5，
∴①AP=5，故此选项正确；
②∵PC=PA，
∴△APC是等腰三角形，故此选项错误；
③∵CE=AD，∠EPC=∠DPA，
∠ADP=∠CEP，
∴△APD≌△CPE；故此选项正确；
④作EQ⊥AC，
∵可证△EAC≌△DAC，
∴两三角形面积相等，
∴DE∥AC，
∵AD=EC，
∴四边形ACED为等腰梯形，
∵PC=5，
∴DP=3，∵AP=5，∴PE=3，
∵EQ×AC=AE×EC，
∴EQ=

8 5

5

，
∵△DPE∽△CPA，
∴

DE

AC

=

PE

AP

，
∴DE=

12 5

5

，
∴梯形面积为：

1

2

×

8 5

5

×（

12 5

5

+4

5

），
=25.6．
∴它的面积为25.6．故此选项正确；
其中正确的有3个．
故选：C．

点评：此题主要考查了图形的翻折变换，根据等腰三角形的性质以及翻折变换前后对应相等情况是解题关键．