Question

已知：如图，⊙O的直径AB=2，BC与⊙O交于点D，∠ABC=30°，BC=2

3

．
（1）求证：BD=CD；
（2）过点D作DE⊥AC，垂足为点E，求证：直线DE是⊙O的切线．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：证明题

分析：（1）求出∠ADB=90°，求出BD，求出CD，即可得出答案；
（2）连接OD，求出OD∥AC，推出DE⊥OD，根据切线的判定推出即可．

解答：（1）证明：连接AD，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB=90°，
∵AB=2，∠ABC=30°，
∴AD=

1

2

AB=1，由勾股定理得：BD=

3

，
∵BC=2

3

，
∴CD=2

3

-

3

=

3

，
即BD=CD．

（2）证明：连接OD，
∵BD=CD，AO=BO，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OC⊥DE，
∵OD为半径，
∴直线DE是⊙O的切线．

点评：本题考查了切线的判定，平行线的判定和性质，勾股定理，含30度角的直角三角形，三角形的中位线的应用，主要考查学生的推理能力，题目比较好．