Question

阅读下面材料并填空：
已知点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为|AB|．当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，|AB|=|OB|=|b|=|a-b|，当A、B两点都不在原点时，

（1）如图2，点A、B都在原点的右边，|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=b-a=|a-b|；
（2）如图3，点A、B在原点的左边，|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=-b-（-a）=a-b=|a-b|；
（3）如图4，点A、B在原点的两边，|AB|=|OA|+|OB|=|a|+|b|=a+（-b）=a-b=|a-b|．
综上，数轴上A、B两点的距离|AB|=|a-b|．
利用上述结论，小明同学这样解决了以下问题：
数轴上表示x和-1的两点之间的距离是|x+1|，表示x和2的两点之间的距离是|x-2|，当x的取值范围为-1≤x≤2时，代数式|x+1|+|x-2|取最小值3．并且他发现：对于代数式|x-a₁|+|x-a₂|+…+|x-a_n|，当n为奇数时，把a₁，a₂，…a_n从小到大排列，x等于最中间的数值时，原式值最小；当n为偶数时，把a₁，a₂，…a_n从小到大排列，x取最中间两个数值之间的数（包括最中间的两个数）时，原式值最小．
请你仿照小明的方法解决下面问题（也可以考虑其他方法）：
若y=|1-x|+|2-3x|+|3-4x|+|4-5x|+|5-6x|+|6-7x|，则当x的取值范围是

3

4

≤x≤

6

7

时，y取最小值

4

3

．

Answer 1

分析：分别进行分段讨论：当x≥1时，当

6

7

≤x≤1时，当

5

6

≤x≤

6

7

时，当

4

5

≤x≤

5

6

时，当

3

4

≤x≤

4

5

时，当

2

3

≤x≤

3

4

时，当x≤

2

3

时，分别进行计算即可得到答案．

解答：解：y=|1-x|+|2-3x|+|3-4x|+|4-5x|+|5-6x|+|6-7x|，
分段讨论：
1、当x≥1时，
y=x-1+3x-2+4x-3+5x-4+6x-5+7x-6=26x-21，
y≥5，
2、当

6

7

≤x≤1时，
y=-（x-1）+3x-2+4x-3+5x-4+6x-5+7x-6=24x-19，
y≥

11

7

，
3、当

5

6

≤x≤

6

7

时，
y=-（x-1）+3x-2+4x-3+5x-4+6x-5-（7x-6）=10x-7，
y≥

4

3

，
4、当

4

5

≤x≤

5

6

时，
y=-（x-1）+3x-2+4x-3+5x-4-（6x-5）-（7x-6）=-2x+3，
y≥

4

3

，
5、当

3

4

≤x≤

4

5

时，
y=-（x-1）+3x-2+4x-3-（5x-4）-（6x-5）-（7x-6）=-12x+11，
y≥

7

5

，
6、当

2

3

≤x≤

3

4

时，
y=-（x-1）+3x-2-（4x-3）-（5x-4）-（6x-5）-（7x-6）=-20x+17，
y≥2，
7、当x≤

2

3

时，
y=-（x-1）-（3x-2）-（4x-3）-（5x-4）-（6x-5）-（7x-6）=-26x+21，
y≥

11

2

，
因此，当

3

4

≤x≤

6

7

时，y取得最小值，
x=

5

6

，y=

4

3

．

点评：此题主要考查了绝对值，关键是掌握数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．