Question

2．证明：
（1）有一个角是直角的菱形是正方形；
（2）对角线垂直的矩形是正方形．

Answer 1

分析 （1）由菱形的性质和已知条件得出AB=CD=BC=DA，四边形ABCD是矩形，得出∠A=∠B=∠C=∠D=90°，即可得出结论；
（2）由矩形的性质和已知条件得出∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，四边形ABCD是菱形，得出AB=BC=CD=DA，即可得出结论．

解答 （1）如图1所示：
已知：四边形ABCD是菱形，∠A=90°；
求证：四边形ABCD是正方形；
证明：∵四边形ABCD是菱形，∠A=90°，
∴AB=CD=BC=DA，四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∴四边形ABCD是正方形；
（2）如图2所示：
已知：四边形ABCD是矩形，对角线AC⊥BD；
求证：四边形ABCD是正方形；
证明：∵四边形ABCD是矩形，对角线AC⊥BD，
∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，
∴四边形ABCD是正方形．

点评 本题考查了菱形的性质与判定、矩形的性质与判定、正方形的判定方法；熟练掌握矩形和菱形的判定与性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．