Question

8．如图，直径为AB的⊙O交Rt△BCD的两条直角边BC、CD于点E、F，且$\widehat{AF}$=$\widehat{EF}$，连接BF．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）当CF=1且∠D=30°时，求AD长．

Answer 1

分析 （1）连接OF，只要证明OF∥BC，即可推出OF⊥CD，由此即可解决问题．
（2）连接AF．思想在Rt△BCF中，求出BC，再在Rt△DBC中，求出DB，在Rt△ABF中，求出AB，根据AD=DB-AB即可解决问题．

解答 （1）证明：连接OF．
∵$\widehat{AF}=\widehat{EF}$，
∴∠CBF=∠FBA，
∵OF=OB，
∴∠FBO=∠OFB，
∴∠CBF=∠OFB，
∴BC∥OF，
∴∠OFC+∠C=180°，
∵∠C=90°，
∴∠OFC=90°，即OF⊥DC，
∴CD为⊙O的切线．

（2）解：连接AF．
∵∠D=30°，∠C=90°，
∴∠CBD=60°
∵$\widehat{AF}=\widehat{EF}$，
∴∠CBF=∠DBF=$\frac{1}{2}$∠CBD=30°，
在Rt△BCF中，∵FC=1，∠CBF=30°，
∴BF=2CF=2．
∴BC=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB=90°，
在Rt△AFB中，∵∠ABF=30°，BF=2，
∴AF=$\frac{1}{2}$AB．
∴AB²=（$\frac{1}{2}$AB）²+BF²，即$\frac{3}{4}$AB²=4，AB=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
在Rt△DCB中，∵∠D=30°，BC=$\sqrt{3}$，
∴BD=2BC=2$\sqrt{3}$．
∴AD=DB-AB=2$\sqrt{3}$-$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题考查切线的判定、直角三角形30度角的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．