Question

15．若关于x的一元二次方程x²+（a²-1）x+a-2=0有一根大于1，一根小于-1．求a的取值范围．

Answer 1

分析 根据抛物线与x轴的交点问题，把一元二次方程x²+（a²-1）x+a-2=0有一根大于1，一根小于-1理解为抛物线y=x²+（a²-1）x+a-2与x轴的交点一个在点（-1，0）的左边，另一个交点在点（1，0）的右边，则利用函数图象得a-2＜0；当x=-1时，y＜0，即1-a²+1+a-2＜0，当x=1时，y＜0，即1+a²-1+a-2＜0，然后求出三个不等式的公共部分即可．

解答 解：∵关于x的一元二次方程x²+（a²-1）x+a-2=0有一根大于1，一根小于-1，
∴抛物线y=x²+（a²-1）x+a-2与x轴的交点一个在点（-1，0）的左边，另一个交点在点（1，0）的右边，
∴a-2＜0，即a＜2，
∵抛物线开口向上，
∴当x=-1时，y＜0，即1-a²+1+a-2＜0，解得a＜0或a＞1，
当x=1时，y＜0，即1+a²-1+a-2＜0，解得-2＜a＜1，
∴-2＜a＜0．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程的问题．