Question

16．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE=22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为（　　）

• A． 4-2$\sqrt{2}$
• B． 3$\sqrt{2}$-4
• C． 1
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ABD=∠ADB=45°，再求出∠DAE的度数，根据三角形的内角和定理求∠AED，从而得到∠DAE=∠AED，再根据等角对等边的性质得到AD=DE，然后求出正方形的对角线BD，再求出BE，最后根据等腰直角三角形的直角边等于斜边的$\frac{\sqrt{2}}{2}$倍计算即可得解．

解答 解：在正方形ABCD中，∠ABD=∠ADB=45°，
∵∠BAE=22.5°，
∴∠DAE=90°-∠BAE=90°-22.5°=67.5°，
在△ADE中，∠AED=180°-45°-67.5°=67.5°，
∴∠DAE=∠AED，
∴AD=DE=4，
∵正方形的边长为4，
∴BD=4$\sqrt{2}$，
∴BE=BD-DE=4$\sqrt{2}$-4，
∵EF⊥AB，∠ABD=45°，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴EF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×（4$\sqrt{2}$-4）=4-2$\sqrt{2}$．
故选A．

点评 本题考查了正方形的性质，主要利用了正方形的对角线平分一组对角，等角对等边的性质，正方形的对角线与边长的关系，等腰直角三角形的判定与性质，根据角的度数的相等求出相等的角，再求出DE=AD是解题的关键，也是本题的难点．