Question

已知从1开始连续n个自然数相乘，1×2×3×…×n，乘积的尾部恰有25个连续的零，那么n的最大值是？

Answer 1

【答案】分析：首先5、10、15、20、25、…、105与其它偶数之积的个位至少有一个0，105÷5=21个，105÷25=4个…5，21+4=25个，即连续自然数乘积1×2×3×…×105的尾部恰有25个连续的0，所以1×2×3×…×n中，n的最大值是105+4=109．
解答：解：凡末位是0的数，都为乘积的尾部贡献1个0，2×5=10，每10个连续数中，这样就为乘积贡献了2个零．
从1到100，乘积就有了20个0，但还有25、50、75和100，都可再贡献1个0，这样就有了24个0．
要再出现1个0，即凑成25个0，还必须出现1个5（因为2有的是），所以到105恰有乘积末尾恰有25个连续的0．
但此题问的是n的最大值，也就是说，最大到几不会出现第26个0，显然，是到109． 
故n的最大值是109．
点评：考查了质因数分解，明确若干个连续自然数的乘积末尾有多少个零，是由多少个因数5决定的是完成本题的关键．