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    阅读下面材料：
    小阳遇到这样一个问题：如图（1），O为等边△ABC内部一点，且OA：OB：OC=1：：，求∠AOB的度数．

    小阳是这样思考的：图（1）中有一个等边三角形，若将图形中一部分绕着等边三角形的某个顶点旋转60°，会得到新的等边三角形，且能达到转移线段的目的．他的作法是：如图（2），把△ACO绕点A逆时针旋转60°，使点C与点B重合，得到△ABO′，连接OO′．则△AOO′是等边三角形，故OO′=OA，至此，通过旋转将线段OA、OB、OC转移到同一个三角形OO′B中．
    （1）请你回答：∠AOB=______°．
    （2）参考小阳思考问题的方法，解决下列问题：
    已知：如图（3），四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=60°，∠DCB=30°，AC=5，CD=4．求四边形ABCD的面积．
    【答案】分析：（1）利用△AOO′是等边三角形，得出∠AOO′=60°，再利用已知得出OO′2+BO2=OC2，即可求出∠BOO′=90°，即可得出答案；
    （2）首先将△ADC绕点A顺时针旋转60°，使点D与点B重合，得到△ABO，连接CO，进而求出△ACO是等边三角形，再由S四边形ABCD=S△ACO-S△BCO，求出即可．
    解答：解：（1）∵△AOO′是等边三角形，
    ∴∠AOO′=60°，
    ∵OA：OB：OC=1：：，
    ∴设OA=x，则OB=x，OC=x，
    ∵CO=O′B，OO′=AO，
    ∴OO′2+BO2=x2+（x）2=3x2，
    OC2=3x2，
    ∴OO′2+BO2=OC2，
    ∴△BOO′是直角三角形，
    ∴∠BOO′=90°，
    ∴∠AOB=∠BOO′+∠AOO′=90°+60°=150°．
    故答案为：150°；

    （2）如图，将△ADC绕点A顺时针旋转60°，使点D与点B重合，
    得到△ABO，连接CO．
    ∵AC=AO，∠CAO=60°，
    ∴△ACO是等边三角形，
    可知CO=CA=5，BO=DC=4，∠ABO=∠ADC，
    在四边形ABCD中，∠ADC+∠ABC=360°-∠DAB-∠DCB=270°，
    ∴∠OBC=360°-（∠ABC+∠ABO）=360°-270°=90°．
    ∴BC==3，
    ∴S四边形ABCD=S△ACO-S△BCO
    =×5sin60°×5-×3×4
    =-6．
    点评：此题主要考查了旋转的性质以及勾股定理的逆定理和等边三角形的判定以及四边形、三角形面积求法等知识，得出∠OBC等于90°是解题关键．
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    科目：初中数学 来源： 题型：阅读理解

    （2012•延庆县一模）阅读下面材料：
    小红遇到这样一个问题，如图1：在△ABC中，AD⊥BC，BD=4，DC=6，且∠BAC=45°，求线段AD的长．

    小红是这样想的：作△ABC的外接圆⊙O，如图2：利用同弧所对圆周角和圆心角的关系，可以知道∠BOC=90°，然后过O点作
    OE⊥BC于E，作OF⊥AD于F，在Rt△BOC中可以求出⊙O半径及OE，在Rt△AOF中可以求出AF，最后利用AD=AF+DF得以解决此题．
    请你回答图2中线段AD的长
    12
    12
    ．
    参考小红思考问题的方法，解决下列问题：如图3：在△ABC中，AD⊥BC，BD=4，DC=6，且∠BAC=30°，则线段AD的长
    3
    		11
    +5
    		3
    3
    		11
    +5
    		3
    ．

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    科目：初中数学 来源： 题型：阅读理解

    （2012•石景山区二模）阅读下面材料：
    小阳遇到这样一个问题：如图（1），O为等边△ABC内部一点，且OA：OB：OC=1：
    		2
    ：
    		3
    ，求∠AOB的度数．

    小阳是这样思考的：图（1）中有一个等边三角形，若将图形中一部分绕着等边三角形的某个顶点旋转60°，会得到新的等边三角形，且能达到转移线段的目的．他的作法是：如图（2），把△ACO绕点A逆时针旋转60°，使点C与点B重合，得到△ABO′，连接OO′．则△AOO′是等边三角形，故OO′=OA，至此，通过旋转将线段OA、OB、OC转移到同一个三角形OO′B中．
    （1）请你回答：∠AOB=
    150
    150
    °．
    （2）参考小阳思考问题的方法，解决下列问题：
    已知：如图（3），四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=60°，∠DCB=30°，AC=5，CD=4．求四边形ABCD的面积．

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    科目：初中数学 来源： 题型：阅读理解

    （2013•南开区一模）阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，△ABO和△CBO均为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，若△BOC的面积为1，试求以AD、BC、OC+OD的长度为三边长的三角形的面积．小明是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构成一个三角形，在计算其面积即可．他利用图形变换解决了这个问题，其解题思路是延长CO到E，使得OE=CO，连接BE，可证△OBE≌△OAD，从而等到的△BCE即时以AD、BC、OC+OD的长度为三边长的三角形（如图2）．
    （I）请你回答：图2中△BCE的面积等于
    2
    2
    ．
    （II）请你尝试用平移、旋转、翻折的方法，解决下列问题：如图3，已知ABC，分别以AB、AC、BC为边向外作正方形ABDE、AGFC、BCHI，连接EG、FH、ID．若△ABC的面积为1，则以EG、FH、ID的长度为三边长的三角形的面积等于
    3
    3
    ．

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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    阅读下面材料：
    小阳遇到这样一个问题：如图（1），O为等边△ABC内部一点，且OA：OB：OC=1：数学公式：数学公式，求∠AOB的度数．

    小阳是这样思考的：图（1）中有一个等边三角形，若将图形中一部分绕着等边三角形的某个顶点旋转60°，会得到新的等边三角形，且能达到转移线段的目的．他的作法是：如图（2），把△ACO绕点A逆时针旋转60°，使点C与点B重合，得到△ABO′，连接OO′．则△AOO′是等边三角形，故OO′=OA，至此，通过旋转将线段OA、OB、OC转移到同一个三角形OO′B中．
    （1）请你回答：∠AOB=______°．
    （2）参考小阳思考问题的方法，解决下列问题：
    已知：如图（3），四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=60°，∠DCB=30°，AC=5，CD=4．求四边形ABCD的面积．

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