Question

2．如图，四边形OABC是平行四边形，点A（-2，0），点B（0，2$\sqrt{3}$），动点P从点O出发以每秒$\sqrt{3}$个单位长度的速度沿射线OB方向匀速运动，同时动点Q从点B出发以每秒2个单位长度的速度沿射线BA方向匀速运动，连结CP，CQ，设运动时间为t秒．
（1）求点C的坐标和∠OCB的度数；
（2）请用含t的代数式表示动点P和动点Q的坐标；
（3）①当∠BCP=∠BCQ时，求t的值；
②当∠BCQ-∠BCP≤30°时，求t的取值范围（只要写出直接答案）．

Answer 1

分析 （1）由平行四边形的性质和点A、B的坐标便可求出C点坐标，根据直角三角形的边角关系可知∠OCB的度数；
（2）利用三角形相似可求出点Q的坐标，点P在y轴上，易得P（0，t）；
（3）①当∠BCP=∠BCQ时，点Q在直线CP上，求出直线CP的解析式，把Q的坐标代入列方程求解；
②运用C、Q的坐标求出直线CQ的解析式，求出直线与y轴交点D的坐标，表示出OP、DP、CP，运用相似列方程求解，得到t的取值范围．

解答 解：（1）∵四边形OABC是平行四边形，点A（-2，0），点B（0，2$\sqrt{3}$），
∴C（2，2$\sqrt{3}$）
在Rt△OBC中，OB=2$\sqrt{3}$，BC=2，
∴∠∠OCB=30°
（2）∵动点P从点O出发以每秒$\sqrt{3}$个单位长度的速度沿射线OB方向匀速运动，运动时间为t秒．
∴P（0，$\sqrt{3}$t，）
如图①，作QM⊥y，QN⊥x，
则$\frac{QM}{OA}$=$\frac{BQ}{AB}$，$\frac{QN}{OB}$=$\frac{AQ}{AB}$，
由BQ=2t，AB=4，OB=2$\sqrt{3}$，OA=2，
∴AQ=4-2t，
代入上式解得：QM=t，QN=2$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t，
∴Q（-t，2$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t），P（0，$\sqrt{3}$t）；
（3）①当∠BCP=∠BCQ时，点Q在直线CP上，
设直线CP解析式为y=kx+b，
代入C、P两点坐标，得
k=$\frac{2\sqrt{3}-\sqrt{3}t}{2}$，b=$\sqrt{3}$t，
∴y=$\frac{2\sqrt{3}-\sqrt{3}t}{2}$x+$\sqrt{3}$t，
把Q（-t，2$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t）代入解方程得：t=-1$±\sqrt{5}$，
t=-1-$\sqrt{5}$不合题意，舍去，
∴t=$\sqrt{5}$-1．②
②如图②当∠BCQ-∠BCP=30°时，
∵∠PCD=∠COB=30°，∠CPO=∠DPC，
∴△OCP∽△CDP，
∴PC²=PD•PO，
∵Q（-t，2$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t），C（2，2$\sqrt{3}$），
设直线CQ的解析式为y=kx+b，
把C、Q两点坐标代入得：k=-$\frac{\sqrt{3}t}{t-2}$，b=$\frac{4\sqrt{3}t-4\sqrt{3}}{t-2}$，
∴D（0，$\frac{4\sqrt{3}t-4\sqrt{3}}{t-2}$），
∴OP=$\sqrt{3}$t，PD=$\sqrt{3}$t-$\frac{4\sqrt{3}t-4\sqrt{3}}{t-2}$，PC²=BP²+BC²=（2$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t）²+2²
∴（2$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t）²+2²=$\sqrt{3}$t•（$\sqrt{3}$t-$\frac{4\sqrt{3}t-4\sqrt{3}}{t-2}$）
解得t=$\frac{8}{7}$，
∴0＜t≤$\frac{8}{7}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质及待定系数法；熟练运用数形结合是解决此类问题的关键．