Question

如图，已知直线y=

1

2

x与抛物线y=-

1

4

x2+6交于A、B两点，点P在直线AB上方的抛物线上运动．当△PAB的面积最大时，点P的坐标为

 

．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：

分析：由

y= 1 2 x y=- 1 4 x2+6

，得到A，B两点的坐标，再运用待定系数法确定直线AB的解析式，当一条直线与直线AB平行，且与抛物线只有一个交点P时，三角形PAB面积最大．将直线解析式y=

1

2

x+m与抛物线解析式联立消去y，得到关于x的一元二次方程，令根的判别式等于0，求出m的值，即可确定出此时P的坐标．

解答：解：由

y= 1 2 x y=- 1 4 x2+6

，得A（-6，-3），B（4，2）．
设直线AB的解析式为y=kx+b，
将A与B坐标代入得：

-6k+b=-3 4k+b=2

，
解得：

k= 1 2 b=0

，
∴直线AB的解析式为y=

1

2

x．
设平行于直线AB，且与抛物线只有一个交点的直线方程为y=

1

2

x+m，
此时直线与抛物线交于点P，使得△PAB的面积最大，
与二次函数解析式联立消去y得：-

1

4

x²+6=

1

2

x+m，
整理得：x²+2x+4m-24=0，
∴△=4-4（4m-24）=0，
解得：m=

25

4

，
∴此时直线方程为y=

1

2

x+

25

4

．
由

y= 1 2 x+ 25 4 y=- 1 4 x2+6

，解得

x=-1 y= 23 4

，
∴点P坐标为（-1，

23

4

）．
故答案为：（-1，

23

4

）．

点评：此题考查了抛物线与x轴的交点，两直线平行时斜率满足的关系，解题的关键是：“平行于直线AB，且与抛物线只有一个交点的直线方程与抛物线交点为P，使得△PAB的面积最大”．