Question

在△ABC中，已知AB＞AC，AD平分∠BAC交BC于点D，点E在DC的延长线上，且=k，过E作EF∥AB交AC的延长线于F．
（1）如图1，当k=1时，求证：AF+EF=AB；
（2）如图2，当k=2时，直接写出线段AF、EF、AB之间满足得数量关系：______；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接AE，若AB=9，tan∠DAF=，AE=2，且AF＞EF，求边AC的长．

Answer 1

（1）证明：延长AD、EF交于点G，
当k=1时，DE=BD
∵EF∥AB，∴∠BAD=∠EGD，
又∵∠BDA=∠EDG，BD=ED，
∴△ABD≌△GED，
∴AB=GE，
又∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAC，
∴∠FGD=∠DAC，
∴AF=GF，
∴AF+EF=AB

（2）解：根据（1）可得线段AF、EF、AB之间满足数量关系：AF+EF=2AB；

（3）解：延长AD、EF交点为G．
由（1）（2）可知：FG+EF=2AB=18，即GE=18．
过点A作AH⊥GE，在Rt△AGH中，tan∠G=tan∠DAF=．
即∴GH=2AH
设AH=x，则GH=2x，HE=18-2x，
在Rt△AEH中，由勾股定理可得x²+，解得，
当AH=8时，GH=16，设FH=a，则AF=16-a，在Rt△AFH中，
由勾股定理可得：8²+a²=（16-a）²，
解得a=6，AF=10，EF=8，成立．
当AH=时，同理可求FH=4.8，AF=8，EF=10．
∵AF＞EF，∴此种情况不成立．
∵EF∥AB，∴∠ABC=∠FEC，又∵∠ACB=∠FCE．
∴△ABC∽△FEC，
∴即
∴AC=．
分析：（1）延长AD、EF交于点G，当k=1时，DE=BD，再根据∠BDA=∠EDG，BD=ED，证出△ABD≌△GED，得出AB=GE，又因为∠BAD=∠DAC，所以∠FGD=∠DAC，AF=GF，
即可证出AF+EF=AB；
（2）当k=2时，根据（1）即可直接写出线段AF、EF、AB之间满足得数量关系；
（3）延长AD、EF交点为G，由（1）（2）可知GE=18，过点A作AH⊥GE，在Rt△AGH中，，所以GH=2AH，设AH=x，则GH=2x，HE=18-2x，在Rt△AEH中，由勾股定理可得x²+，解得，当AH=8时，在Rt△AFH中，8²+a²=（16-a）²，解得a=6，AF=10，EF=8，成立，当AH=时，因为AF＞EF，此种情况不成立，因为EF∥AB，所以∠ABC=∠FEC，又因为∠ACB=∠FCE，可以得出△ABC∽△FEC，所以即，即可求出AC的值．
点评：此题考查了相似三角形的判定和性质，关键是根据相似三角形的性质列出方程，要注意的是（3）中，要进行分类求解．