Question

1．如图，过F（0，-1）的直线y=kx+b（k≠0）与抛物线y=-$\frac{1}{4}$x²交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点．
（1）求b值；
（2）求x₁x₂的值；
（3）若线段AB的垂直平分线交y轴于N（0，n），求n的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据题意即可得到结论；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系即可得到结论；
（3）由（2）得，x₁+x₂=-$\frac{-k}{-\frac{1}{4}}$=-4k，求得x_C=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-2k，y_C=-2k•k-1=-2k²-1，根据CN⊥AB，得到k_CN=-$\frac{1}{k}$，求得直线y_CN=-$\frac{1}{k}$（x+2k）-2k²-1，于是得到结论．

解答 解：（1）∵直线y=kx+b过F（0，-1），
∴b=-1；
（2）∵b=-1，
∴直线的解析式为：y=kx-1，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-1}\\{y=-\frac{1}{4}{x}^{2}}\end{array}\right.$得-$\frac{1}{4}$x²-kx+1=0，
∴x₁x₂=$\frac{1}{-\frac{1}{4}}$=-4；
（3）由（2）得，x₁+x₂=-$\frac{-k}{-\frac{1}{4}}$=-4k，
∴x_C=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-2k，y_C=-2k•k-1=-2k²-1，
∵CN⊥AB，
∴k_CN=-$\frac{1}{k}$，
∴y_CN=-$\frac{1}{k}$（x+2k）-2k²-1，
当x=0时，n=-2-2k²-1=-2k²-3，
∵k≠0，
∴n＜-3．

点评 本题考查了二次函数的性质，求函数的解析式，二元一次方程根与系数的关系，正确理解题意是解题的关键．