Question

已知菱形ABCD，AE⊥CD，若AE=4，BC=5，则AC•BD=________．

Answer 1

40
分析：从题中所给的已知条件，菱形ABCD，AE⊥CD，若AE=4，BC=5，由勾股定理可以算出DE的长，然后得到CE的长，在△AEC中，勾股定理可以得到AC的长，利用菱形的对角线互相垂直平分得到AO的长，在△AOD中，由勾股定理得到OD的长，从而可以得到BD的长，由此得出答案．
解答：解：解法一：∵菱形ABCD
∴AD=BC=5
∵AE⊥CD，AE=4
在Rt△AED中，由勾股定理可知DE²=AD²-AE²．
∴DE=3，CE=2
在Rt△AEC中，由勾股定理可知AC²=CE²+AE²．
∴AC==2
∴AO=
在Rt△AOD中，由勾股定理可知OD²=AD²-AO²．
∴OD==2
∴BD=4．
∴AC•BD=2•=40．
解法二：∵菱形ABCD，AE⊥CD
∴△ACD的面积为AE•CD=×4×5=10．
∴菱形ABCD的面积为二倍的△ACD的面积=10×2=20．
菱形的面积为对角线的长度乘积的二分之一．
所以AC•BD=40．
故答案为40．
点评：本题主要利用菱形的对角线互相垂直平分及勾股定理来解决．