Question

如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAF=∠BCE．求证：∠EBA=∠ADE．

Answer 1

证明：如图，
分别过点A、B作ED、EC的平行线，它们交于点P，连PE．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠PBA=∠ECD，∠PAB=∠EDC，
∴△PBA≌△ECD，
∴PA=ED，PB=EC．
∴四边形PBCE、PADE均为平行四边形，
∴∠BCE=∠BPE，∠APE=∠ADE．
而∠BAF=∠BCE，
∴∠BAF=∠BPE．
∴P、B、A、E四点共圆．
∴∠EBA=∠APE．
所以∠EBA=∠ADE．
分析：分别过点A、B作ED、EC的平行线，它们交于点P，连PE，根据平行四边形的性质和一个角的两边分别平行这两个角相等或互补得到AB∥CD，AB=CD，∠PBA=∠ECD，∠PAB=∠EDC，易证得△PBA≌△ECD，得到PA=ED，PB=EC．则四边形PBCE、PADE均为平行四边形，得到∠BCE=∠BPE，∠APE=∠ADE，而∠BAF=∠BCE，得到P、B、A、E四点共圆，则∠EBA=∠APE，即可得到∠EBA=∠ADE．
点评：本题考查了四点共圆的判定及性质；也考查了三角形全等的判定与性质以及平行四边形的性质．