Question

如图，在长方形ABCD（对边相等，四角都是直角）中，将△ABC沿AC对折至△AEC位置，CE与AD交于点F．
（1）求证：△AFC是等腰三角形；
（2）若∠ACB=30°，BC=12cm，求DF的长．

Answer 1

分析：（1）由折叠的性质可知∠ECA=∠BCA，由AD∥BC可知∠DAC=∠BCA，则∠ECA=∠DAC，可证△AFC是等腰三角形；
（2）在Rt△ABC中，BC=12，∠ACB=30°，可求AB的长，由矩形性质得CD=AB，由折叠的性质可知∠ECA=∠ACB=30°，利用互余关系可求∠DCF=30°，在Rt△CDF中求DF即可．

解答：（1）证明：由折叠的性质可知∠ECA=∠BCA，
由AD∥BC可知∠DAC=∠BCA，
∴∠ECA=∠DAC，
∴△AFC是等腰三角形；

（2）解：∵在Rt△ABC中，BC=12，∠ACB=30°，
∴AB=BC•tan∠ACB=12×

3

3

=4

3

，
∴CD=AB=4

3

，
由折叠的性质可知∠ECA=∠ACB=30°，
∴∠DCF=90°-∠ECA-∠ACB=30°，
在Rt△CDF中，
DF=CD•tan∠DCF=4

3

×

3

3

=4．

点评：本题考查了折叠的性质，平行线的性质的运用，解直角三角形的有关知识．关键是利用折叠的性质将角、边进行转化．