Question

2．如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，B、C、D三点在一条直线上，AD与BE相交于点P，AC、BE相交于点M，AD、CE相交于点N，则下列五个结论：①AD=BE；②∠BMC=∠ANC；③∠APM=60°；④CP平分∠MCN；⑤△CMN是等边三角形．其中，一定正确的有（　　）

• A． 2个
• B． 3个
• C． 4个
• D． 5个

Answer 1

分析 ①根据等边三角形的性质得CA=CB，CD=CE，∠ACB=60°，∠DCE=60°，则∠ACE=60°，利用“SAS”可判断△ACD≌△BCE，则AD=BE；
②由△ACD≌△BCE得到∠CAD=∠CBE，然后根据“ASA”判断△ACN≌△BCM，得出∠BMC=∠ANC即可；
③由全等三角形的性质和三角形内角和定理即可得出∠APM=60°；④错误；
⑤由等边三角形的判定得出△CMN是等边三角形．

解答 解：①∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=60°，∠DCE=60°，
∴∠ACE=60°，
∴∠ACD=∠BCE=120°，
在△ACD和△BCE中，$\left\{\begin{array}{l}{CA=CB}&{\;}\\{∠ACD=∠BCE}&{\;}\\{CD=CE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE；①正确；
②∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD=∠CBE，
在△ACN和△BCM中，$\left\{\begin{array}{l}{ACN=∠BCM}&{\;}\\{CA=CB}&{\;}\\{∠CAN=∠CBM}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACN≌△BCM（ASA），
∴∠BMC=∠ANC，②正确；
∵∠CAD=∠CBE，∠AMO=∠BMC，
由三角形内角和定理得：∠APM=∠ACB=60°，③正确；
⑤∵△ACN≌△BCM，
∴CN=CM
而∠MCN=60°，
∴△CMN是等边三角形；⑤正确；
∵∠APB=∠ACB=60°，
∴A、B、C、P四点共圆，
∴∠BPC=∠BAC=60°，
∴∠CPD=120°-60°=60°，
∴CP平分∠MPN，没有条件得出CP平分∠MCN，④错误；
正确的有4个，
故选：C．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．