Question

在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax²+bx+c的对称轴是x=1，并且经过（-2，-5）和（5，-12）两点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）设此抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C 点，D是线段BC上一点（不与点B、C重合），若以B、O、D为顶点的三角形与△BAC相似，求点D的坐标；
（3）点P在y轴上，点M在此抛物线上，若要使以点P、M、A、B为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点M的坐标．

Answer 1

分析：（1）根据待定系数法列出方程组，求出a、b、c的值即可；
（2）根据抛物线解析式求出与x轴、y轴的交点，根据相似三角形的性质列出比例式，结合勾股定理解答即可；
（3）画出图形，根据平行四边形的性质即可得到M点的坐标．

解答：解：（1）由题意，得

- b 2a =1 4a-2b+c=-5 25a+5b+c=-12.

，
解这个方程组，得

a=-1 b=2 c=3.

，（1分）
∴抛物线的解析式为y=-x²+2x+3．（2分）

（2）令y=0，得-x²+2x+3=0．
解这个方程，得x₁=-1，x₂=3．
∴A（-1，0），B（3，0）．
令x=0，得y=3．
∴C（0，3）．
∴AB=4，OB=OC=3，∠OBC=45°．
∴BC=

OB2+OC2

=

32+32

=3

2

．
过点D作DE⊥x轴于点E．
∵∠OBC=45°，
∴BE=DE．
要使△BOD∽△BAC或△BDO∽△BAC，
已有∠ABC=∠OBD，则只需

BD

BC

=

BO

BA

或

BO

BC

=

BD

BA

成立．
若

BD

BC

=

BO

BA

成立，
则有BD=

BO×BC

BA

=

3×3 2

4

=

9 2

4

．
在Rt△BDE中，由勾股定理，得BE2+DE2=2BE2=BD2=(

9 2

4

)2．
∴BE=DE=

9

4

．
∴OE=OB-BE=3-

9

4

=

3

4

．
∴点D的坐标为(

3

4

，

9

4

)．（4分）
若

BO

BC

=

BD

BA

成立，则有BD=

BO×BA

BC

=

3×4

3 2

=2

2

．
在Rt△BDE中，由勾股定理，得BE2+DE2=2BE2=BD2=(2

2

)2．
∴BE=DE=2．
∴OE=OB-BE=3-2=1．
∴点D的坐标为（1，2）．（5分）
∴点D的坐标为(

3

4

，

9

4

)或（1，2）；

（3）点M的坐标为（2，3）或（4，-5）或（-4，-21）．（8分）

点评：本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、函数图象与x轴、y轴交点的求法等知识点．主要考查学生数形结合的数学思想方法，画出相关图形，是解题必不可少的环节．