Question

将两块全等的三角板如图①摆放，其中∠A₁CB₁=∠ACB=90°，∠A₁=∠A=30°．
（1）将图①中的△A₁B₁C顺时针旋转45°得图②，点P₁是A₁C与AB的交点，点Q是A₁B₁与BC的交点，求证：CP₁=CQ；
（2）在图②中，若AP₁=2，则CQ等于多少？
（3）如图③，在B₁C上取一点E，连接BE、P₁E，设BC=1，当BE⊥P₁B时，求△P₁BE面积的最大值．

Answer 1

（1）证明：∵∠B₁CB=45°，∠B₁CA₁=90°，
∴∠B₁CQ=∠BCP₁=45°，
∵在△B₁CQ和△BCP₁中，
，
∴△B₁CQ≌△BCP₁（ASA），
∴CQ=CP₁；

（2）作P₁D⊥CA于D，

∵∠A=30°，
∴P₁D=AP₁=1，
∵∠P₁CD=45°，
∴=sin45°=，
∴CP₁=P₁D=，
又∵CP₁=CQ，
∴CQ=；

（3）∵∠P₁BE=90°，∠ABC=60°，
∴∠A=∠CBE=30°，
∴AC=BC，
由旋转的性质可得：∠ACP₁=∠BCE，
∴△AP₁C∽△BEC，
∴AP₁：BE=AC：BC=：1，
设AP₁=x，则BE=x，
在Rt△ABC中，∠A=30°，
∴AB=2BC=2，
∴S_△P1BE=×x（2-x）=-x²+x
=-（x-1）²+，
故当x=1时，S_{△P1BE（max）}=．
分析：（1）先判断∠B₁CQ=∠BCP₁=45°，利用ASA即可证明△B₁CQ≌△BCP₁，从而得出结论．
（2）作P₁D⊥CA于D，在RtADP₁中，求出P₁D，在Rt△CDP₁中求出CP₁，继而可得出CQ的长度．
（3）证明△AP₁C∽△BEC，则有AP₁：BE=AC：BC=：1，设AP₁=x，则BE=x，得出S_△P1BE关于x的表达式，利用配方法求最值即可．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，解答本题需要我们熟练掌握含30°角的直角三角形的性质、勾股定理及配方法求二次函数的最值，有一定难度．