Question

7．如图1，矩形ABCD，AB=3，BC=4，E，F分别在AB，BC边上，且EF∥AC；将△BEF沿EF折叠，得△B'EF，设BE=x．
探究（一）
（1）x=$\frac{3}{2}$时，点B'落在AC上，此时折痕EF=$\frac{5}{2}$；
（2）x=$\frac{75}{32}$时，点B'落在AD上．
探究（二）
当点B落在矩形区域上（含边界），设△B'EF的面积为S．
求S与x之间的函数关系式，并求出S的最大值．

Answer 1

分析 探究一：（1）只要证明EF是△ABC的中位线即可；
（2）如图2中，设BB′交EF于O，交AC于K．由△ABK∽△B′BA，推出$\frac{BK}{BA}$=$\frac{AB}{BB′}$，推出BB′=$\frac{15}{4}$，推出OB=OB′=$\frac{15}{8}$，由△BOE∽△BKA，可得$\frac{BO}{BK}$=$\frac{BE}{BA}$，可得BE=$\frac{75}{32}$；
探究二：由EF∥AC，可得$\frac{BE}{BA}$=$\frac{BF}{AC}$，推出BF=$\frac{4}{3}$x，当B′在AD上时，△EFB′的面积最大；

解答 解：探究（一）：
（1）如图1中，设EF交BB′于O．

∵B、B′关于EF对称，
∴EF垂直平分BB′，
∴OB=OB′，
∵EF∥AC，
∴BE=AE=$\frac{3}{2}$，BF=FC，
∴EF=$\frac{1}{2}$AC，易知AC=5，
∴EF=$\frac{5}{2}$．
故答案为$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$．

（2）如图2中，设BB′交EF于O，交AC于K．

∵$\frac{1}{2}$•AC•BK=$\frac{1}{2}$•AB•BC，
∴BK=$\frac{12}{5}$，
∵△ABK∽△B′BA，
∴$\frac{BK}{BA}$=$\frac{AB}{BB′}$，
∴BB′=$\frac{15}{4}$，
∴OB=OB′=$\frac{15}{8}$，
∵△BOE∽△BKA，
∴$\frac{BO}{BK}$=$\frac{BE}{BA}$，
∴BE=$\frac{75}{32}$．
故答案为$\frac{75}{32}$．

探究（二）
∵EF∥AC，
∴$\frac{BE}{BA}$=$\frac{BF}{AC}$，
∴BF=$\frac{4}{3}$x，
∴S=$\frac{1}{2}$•x•$\frac{4}{3}$x=$\frac{2}{3}$x²（0＜x≤$\frac{75}{32}$），
当x=$\frac{75}{32}$时，S的值最大，最大值为$\frac{1875}{512}$．

点评 本题考查翻折变换、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．