Question

已知关于x的方程x²﹣（m+2）x+（2m﹣1）=0．

（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；

（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长．

Answer 1

解答： （1）证明：∵△=（m+2）²﹣4（2m﹣1）=（m﹣2）²+4，

∴在实数范围内，m无论取何值，（m﹣2）²+4＞0，即△＞0，

∴关于x的方程x²﹣（m+2）x+（2m﹣1）=0恒有两个不相等的实数根；

（2）解：根据题意，得

1²﹣1×（m+2）+（2m﹣1）=0，

解得，m=2，

则方程的另一根为：m+2﹣1=2+1=3；

①当该直角三角形的两直角边是1、3时，由勾股定理得斜边的长度为：；

该直角三角形的周长为1+3+=4+；

②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为2；则该直角三角形的周长为1+3+2=4+2．