Question

如图①，矩形ABCD的两条边在坐标轴上，点D与原点重合，对角线BD所在直线与y轴的夹角为60°，AB=8。矩形ABCD沿DB方向以每秒1个单位长度运动，同时点P从点A出发沿矩形ABCD的边以每秒1个单位长度做匀速运动，经过点B到达点C，设运动时间为t。
（1）求出矩形ABCD的边长BC；
（2）如图②，图形运动到第6秒时，求点P的坐标；
（3）当点P在线段BC上运动时，过点P作x轴，y轴的垂线，垂足分别为E，F，则矩形PEOF是否能与矩形ABCD相似？若能，求出t的值；若不能，说明理由。

Answer 1

解：（1）在Rt△DBC中，
∵∠BDC=60°，CD=AB=8
∴；
（2）当图形运动到第6秒时，
此时点P在AB上，OD=6，AP=6，
而∠BDA=30°，
∴D点坐标为，
∴点A坐标为，
∴点P的坐标为；
（3）当点P在BC边运动时，即，
而DO=t，∠BOA=30°，
∴点D的坐标为，点C的坐标为
∴点P的坐标为，
即PF=，PE=，若矩形PEOF与矩形ABCD相似，
①若，
，
解得t=8，
②若，
则，
解得。
因为，此时点P不在BC边上，舍去。
因此当t=8时，点P到达点B，矩形PEOF与矩形BADC相似。