Question

在平面直角坐标系中，已知双曲线，动点C、D同时从原点出发，分别沿x轴、y轴正方向运动，运动速度为每秒1个单位长．
（1）经过几秒钟，直线CD与双曲线有一个公共点？
（2）设直线CD与双曲线相交时，交点为A、B．当△AOB面积等于时，求动点C、D两点所经过的时间t．

Answer 1

解：（1）∵动点C、D同时从原点出发，分别沿x轴、y轴正方向运动，运动速度为每秒1个单位长．
∴假设经过t秒时，直线CD与双曲线有一个公共点，
∴C点的坐标为：（t，0），D点的坐标为：（0，t），
∴假设CD所在直线解析式为：y=kx+b，将C，D代入解析式即可；
∴，
解得：，
∴y=-x+t，
将两解析式联立，-x+t=，
整理得：x²-tx+12=0，
∵直线CD与双曲线有一个公共点，
∴方程有两个相等的实数根，
∴b²-4ac=t²-48=0，
解得：t=4或-4（不合题意舍去）．
∴经过4秒钟，直线CD与双曲线有一个公共点；

（2）如图：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
显然x₁＜x₂，x₁+x₂=t，x₁x₂=12，
S_△ABO=S_△ODB-S_△ODA=t（x₂-x₁）=t=t，
∵S_△ABO=，
∴=t，
整理得：（t²）²-48t²-49=0，
解得：t²=49或-1（不合题意舍去），
∵t≥0，
∴t=7．
分析：（1）利用已知首先求出一次函数CD的解析式，再将两函数联立，根据一元二次方程根的判别式求出即可；
（2）首先设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），得出x₁＜x₂，x₁+x₂=t，x₁x₂=12，再利用S_△ABO=S_△ODB-S_△ODA，求出t即可．
点评：此题主要考查了反比例函数的综合应用以及三角形面积和一元二次方程根与系数的关系等知识，根据三角形面积S_△ABO=S_△ODB-S_△ODA转换三角形面积得出是常用的一种数学思想．