Question

矩形OABC在平 面直角坐标系中的位置如图所示，A、C两点的坐标分别为A（6,0），C（0，-3），直线y=-x与BC边相交于D点.

（1）若抛物线y=ax-x经过点A，试确定此抛物线的解析式；
（2）在（1）中的抛物线的对称轴上取一点E，求出EA+ED的最小值；
（3）设（1）中的抛物线的对称轴与直线OD交于点M，点P为对称轴上一动点，以P、O、M为顶点的三角形与△OCD相似，求符合条件的点P的坐标.

Answer 1

（1）抛物线的解析式为y=x-x （2）EA+ED的最小值为5 （3）P1（3,0），P2（3,4）

解析试题分析：（1）抛物线y=ax-x经过点A（6,0），
∴0=36a-×36, ∴a=,故抛物线的解析式为y=x-x.  
（2）直线y=-x与BC边相交于D点，
当y=-3时，x=4，∴点D的坐标为（4，-3）.
∵点O与点A关于对称轴对称，且点E在对称轴上，
∴EA="EO," ∴EA+ED=EO+ED,
则最小值为OD==5，∴EA+ED的最小值为5.          
（3）抛物线的对称轴与x轴的交点P1符合条件.

∵OA∥CB ，∴∠P1OM=∠CDO.
∵∠OP1M=∠DCO=90°，∴Rt△P1OM∽Rt△CDO.
∵抛物线的对称轴为x=3，∴点P1的坐标为（3,0）.
过点O作OD的垂线交抛物线的对称轴于点P2.
∵对称轴平行于y轴，∴∠P2MO=∠DOC.
∵∠P2OM=∠DCO=90°, ∴Rt△P2MO∽Rt△DOC.
∴点P2也符合条件，∠OP2M=∠ODC.
∵P1O=CO=3，∠P2P1O=∠DCO=90°，
∴Rt△P2P1O ≌Rt△DCO. ∴P1P2=CD=4.
∵点P2在第一象限，∴点P2的坐标为（3,4）.
∴符合条件的点P有两个，分别是P1（3,0），P2（3,4）.       
考点：抛物线，全等三角形
点评：本题考查抛物线，全等三角形，掌握抛物线的性质，要求考生能求函数解析式，熟悉全等三角形的判定方法，并会证明两个三角形全等