Question

12．已知函数y=（1-m²）x²+2mx-1的图象与x轴的交点的横坐标都是比1小的正数，求m的取值范围．

Answer 1

分析 分类讨论：当1-m²=0，解得m=1或m=-1，函数为一次函数，再利用图象与x轴的交点的横坐标是比1小的正数可确定m=1；当1-m²≠0，即m≠1且m≠-1，先计算判别式得到△=4，则可判断抛物线与x轴有两个交点，接着利用公式法解一元二次方程（1-m²）x²+2mx-1=0得x₁=$\frac{1}{m+1}$，x₂=$\frac{1}{m-1}$，然后利用图象与x轴的交点的横坐标都是比1小的正数得到0＜$\frac{1}{m+1}$＜1，0＜$\frac{1}{m-1}$＜1，解得m＞2，最后综合两种情况即可得到m的取值范围．

解答 解：当1-m²=0，解得m=1或m=-1，若m=1，函数解析式化为y=2x-1，与x轴的交点坐标为（$\frac{1}{2}$，0）；若m=-1，函数解析式化为y=-2x-1，与x轴的交点坐标为（-$\frac{1}{2}$，0），不合题意舍去，所以m的值为1；
当1-m²≠0，即m≠1且m≠-1，△=4m²-4（1-m2）•（-1）=4＞0，抛物线与x轴有两个交点，解一元二次方程（1-m²）x²+2mx-1=0得x₁=$\frac{1}{m+1}$，x₂=$\frac{1}{m-1}$，
因为抛物线与x轴的交点的横坐标都是比1小的正数，所以0＜$\frac{1}{m+1}$＜1，0＜$\frac{1}{m-1}$＜1，解得m＞2，
综上所述，m的取值范围为m=1或m＞2．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点问题：把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题化为解关于x的一元二次方程的问题．注意分类讨论思想的运用．