Question

重庆市垫江县具有2000多年的牡丹种植历史．每年3月下旬至4月上旬，主要分布在该县太平镇、澄溪镇明月山一带的牡丹迎春怒放，美不胜收．由于牡丹之根---丹皮是重要中药材，目前已种植有60多个品种2万余亩牡丹的垫江，因此成为我国丹皮出口基地，获得“丹皮之乡”的美誉．为了提高农户收入，该县决定在现有基础上开荒种植牡丹并实行政府补贴，规定每新种植一亩牡丹一次性补贴农户若干元，经调查，种植亩数y（亩）与补贴数额x（元）之间成一次函数关系，且补贴与种植情况如下表：

补贴数额（元）	10	20	…
种植亩数（亩）	160	240	…

随着补贴数额x的不断增大，种植规模也不断增加，但每亩牡丹的收益z（元）会相应降低，且该县补贴政策实施前每亩牡丹的收益为3000元，而每补贴10元（补贴数为10元的整数倍），每亩牡丹的收益会相应减少30元．
（1）分别求出政府补贴政策实施后，种植亩数y（亩）、每亩牡丹的收益z（元）与政府补贴数额x（元）之间的函数关系式；
（2）要使全县新种植的牡丹总收益W（元）最大，又要从政府的角度出发，政府应将每亩补贴数额x定为多少元？并求出总收益W的最大值和此时种植亩数；（总收益=每亩收益×亩数）
（3）在（2）问中取得最大总收益的情况下，为了发展旅游业，需占用其中不超过50亩的新种牡丹园，利用其树间空地种植刚由国际牡丹园培育出的“黑桃皇后”．已知引进该新品种平均每亩的费用为530元，此外还要购置其它设备，这项费用（元）等于种植面积（亩）的平方的25倍．这样混种了“黑桃皇后”的这部分土地比原来种植单一品种牡丹时每亩的平均收益增加了2000元，这部分混种土地在扣除所有费用后总收益为85000元．求混种牡丹的土地有多少亩？（结果精确到个位）（参考数据：）

Answer 1

解：（1）设种植亩数y（亩）与政府补贴数额x（元）之间的函数关系式为y=kx+b，
依题意得函数图象过（10，160）（20，240），
∴，
∴y=8x+80，
依题意得
z=3000-×30=-3x+3000；

（2）W=y•z=（8x+80）（-3x+3000）
=-24x²+23760x+240000
=-24（x²-990x+495²-495²）+240000
=-24（x-495）²+6120600
∵x为10的整数倍
∴当x=490或x=500时，W_最大=6120000
∵从政府角度出发
∴当x=490时，W_最大=6120000，
此时种植y=8×490+80=4000亩；

（3）此时平均每亩收益（元），
设混种牡丹的土地m亩，则
（1530+2000）•m-530m-25m²=85000
m²-120m+3400=0
解得：m=60±10，
∴m₁=60+10≈74＞50，
m₂=60-10≈46，
∴混种牡丹的土地有46亩．
分析：（1）首先根据已知条件和表格数据利用待定系数法可以求出y与x之间的函数关系式，又随着补贴数额x的不断增大，种植规模也不断增加，但每亩牡丹的收益z（元）会相应降低，且该县补贴政策实施前每亩牡丹的收益为3000元，而每补贴10元（补贴数为10元的整数倍），每亩牡丹的收益会相应减少30元，由此可以得到z=3000-×30，化简即可得到函数关系式；
（2）根据题目条件知道W=y•z，然后分别把（1）中的函数关系式代入其中即可得到W关于x的二次函数，然后利用二次函数的性质即可解决问题；
（3）此时平均每亩收益（元），设混种牡丹的土地m亩，则根据题意可以列出方程（1530+2000）•m-530m-25m²=85000，解方程即可求出m，也就求出了混种牡丹的土地有多少亩．
点评：本题分别考查了二次函数在实际生活中的应用、一元二次方程在实际中的应用、待定系数法确定一次函数的解析式等知识，综合性比较强，解题时首先要正确理解题意，准确把握题目中的数量关系，利用这些数量关系分别确定函数关系式和列出方程解决问题．