Question

15．如图，抛物线l₁：y=ax²+c（a＜0，c＜0）与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．将抛物线l₁绕点B顺时针旋转180°，得到新的抛物线l₂，它的顶点为C₁，与x轴的另一个交点为A₁．若四边形AC₁A₁C为矩形，则a，b应满足的关系式为（　　）

• A． ac=-2
• B． ac=-3
• C． ac=-4
• D． ac=-5

Answer 1

分析 先利用抛物线与x轴的交点问题求出A（-$\sqrt{-\frac{c}{a}}$，0），B（-$\sqrt{-\frac{c}{a}}$，0），则确定C（0，c），则OA=OB=$\sqrt{-\frac{c}{a}}$，再利用中心对称的性质得到∴A₁B=AB=2$\sqrt{-\frac{c}{a}}$，然后根据射影定理得到OC²=OA•OA₁，即c²=$\sqrt{-\frac{c}{a}}$•3$\sqrt{-\frac{c}{a}}$，接着变形等式即可得到ac=-3．

解答 解：当y=0时，ax²+c=0，解得x=±$\sqrt{-\frac{c}{a}}$，则A（-$\sqrt{-\frac{c}{a}}$，0），B（-$\sqrt{-\frac{c}{a}}$，0），
当x=0时，y=ax²+c=c，则C（0，c），
∴OA=OB=$\sqrt{-\frac{c}{a}}$，
∵抛物线l₁绕点B顺时针旋转180°，得到新的抛物线l₂，它的顶点为C₁，与x轴的另一个交点为A₁．
∴A₁B=AB=2$\sqrt{-\frac{c}{a}}$，
∵四边形AC₁A₁C为矩形，
∴∠ACA₁=90°，
∴OC²=OA•OA₁，即c²=$\sqrt{-\frac{c}{a}}$•3$\sqrt{-\frac{c}{a}}$，
∴ac=-3．
故选B．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程问题．也考查了射影定理．