Question

13．（1）1×2×3×4+1=（25）=（5）²；
（2）2×3×4×5+1=（121）=（11）²；
（3）3×4×5×6+1=（361）=（19）²；
…
（4）猜测四个款项正整数的积加上1一定是n（n+1）（n+2）（n+3）+1=[n（n+3）]²+1．．
请用学习过的因式分解证明以上结论．

Answer 1

分析 由题意可知：连续四个自然数的乘积加1，结果等于两端的自然数乘积加1的平方，由此规律得出第n个等式为n（n+1）（n+2）（n+3）+1=[n（n+3）]²+1．进一步利用因式分解得出答案即可．

解答 解：（1）1×2×3×4+1=25=5²；
（2）2×3×4×5+1=121=11²；
（3）3×4×5×6+1=361=19²；
…
（4）第n个等式为n（n+1）（n+2）（n+3）+1=[n（n+3）+1]²．
证明：左边=[n（n+3）][（n+1）（n+2）]+1
=（n²+3n）（n²+3n+2）+1
=（n²+3n）+2（n²+3n）+1
=[n（n+3）+1]²．

点评 此题考查因式分解的实际运用，发现数字的运算规律，掌握完全平方公式是解决问题的关键．