Question

在一场篮比赛中，甲球员在距篮4米处跳投，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.75米，然后球准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为3.05米．
（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式；
（2）乙球员身高为1.91米，跳起能摸到的高度为3.15米，此时他上前封盖，在离投篮甲球员2米处时起跳，问能否成功封盖住此次投篮？
（3）在（2）条件下若乙球员想要成功封盖甲球员的这次投篮，他离甲球员的距离至多要多少米？

Answer 1

解：（1）设抛物线的解析式为y=ax²+3.75，
把（1.5，3.05）代入得a×1.5²+3.75=3.05，解得a=-，
所以抛物线的解析式为y=-x²+3.75（-2.5≤x≤1.5）；

（2）当x=2-2.5=0.5时，y=-×（-0.5）²+3.75≈3.69，
∵3.15m＜3.69m，
∴在离投篮甲球员2米处时起跳，不能成功封盖住此次投篮；

（3）当y=3.15时，-x²+3.75=3.15，
解得x=±1.40，
∵-2.5≤x≤1.5，
∴x=-1.40，
∴-1.40-（-2.5）=1.1，
∴若乙球员想要成功封盖甲球员的这次投篮，他离甲球员的距离至多要1.1米．
分析：（1）先设抛物线的顶点式为y=ax²+3.75，然后把（1.5，3.05）代入得到a的方程，再解方程即可；
（2）根据题意乙球员所在点的坐标为（-0.5，0），把当x=-0.5代入（1）的解析式求出对应的函数值，然后与3.15进行大小比较，再进行判断能否成功封盖住此次投篮；
（3）求函数为3.15时的自变量的值，即把y=3.15代入（1）的解析式可得到x=±1.40，根据题意得到x=-1.40，再计算-1.40-（-2.5）=1.1，所以乙球员想要成功封盖甲球员的这次投篮，他离甲球员的距离至多要1.1米．
点评：本题考查了二次函数的应用：先通过题意确定出二次函数的解析式，然后根据二次函数的性质解决问题；实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．