Question

16．如图，直线y=2x-4与x轴交于C，与y轴交于A，与双曲线y=$\frac{k}{x}$（k＞0）交于Q，B（0，1），连BQ，S_△ABQ=$\frac{15}{2}$，回答下列问题：
（1）k=6；
（2）如图2，点O关于点B的对称点为E，过E作∠FEO=135°，连FC，交y=$\frac{k}{x}$于点P，且点P为FC的中点，P点坐标是（$\sqrt{6}$，$\sqrt{6}$）；
（3）若点N是双曲线上不同点Q的一动点，点S是y轴上一动点，是否存在以C、Q、N、S为顶点的平行四边形，若存在，求N、S坐标，若不存在，说明理由．
（4）如图3，若D为线段AC上一点，且BD=BQ，将点D沿水平方向向右平移1个单位至点G，过G点的双曲线为y=$\frac{m}{x}$（m＜0），将△DBQ沿直线AQ翻折，点B的对应点为点M，问：M点是否恰好落在双曲线y=$\frac{m}{x}$上？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先求得点A的纵坐标，然后由S_△ABQ=$\frac{15}{2}$，可求得点Q的横坐标，然后可求得点Q的纵坐标，从而可求得k的值；
（2）先求得EF的解析式，然后设出点F的坐标，从而的点P的坐标，最后将点P的坐标代入反比例函数的解析式即可；
（3）分为QC为平行四边形的一边和QC为平行四边形的对角线两种情况讨论即可；
（4）先依据两点之间的距离公式求得点D的坐标，从而可求得点G的坐标，进而可求得双曲线y=$\frac{m}{x}$（m＜0）的解析式，然后利用轴对称的性质求得点M的坐标，从而可判断点M在双曲线上．

解答 解：（1）将x=0代入直线y=2x-4的解析式得：y=-4，
∴BA=5．
∵S_△ABQ=$\frac{15}{2}$，
∴点Q的横坐标为3．
将x=3代入y=2x-4得；y=2．
∴k=xy=3×2=6．
故答案为：6．
（2）将y=0代入y=2x-4得2x-4=0，
解得：x=2．
∴点C的坐标为（2，0）．
∵点O与点E关于点B对称，
∴点E的坐标为（0，2）．
∵∠FEO=135°，
∴直线EF的解析式为y=x+2．
设点F的坐标为（x，x+2）．则点P的坐标为（$\frac{x+2}{2}$，$\frac{x+2}{2}$）
∴点P的横纵坐标相等．
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{6}{x}}\\{y=x}\end{array}\right.$（x＞0）
解得：x=$\sqrt{6}$，y=$\sqrt{6}$．
∴点P的坐标为（$\sqrt{6}$，$\sqrt{6}$）．
（3）存在．
理由：如图1所示：SN∥QC，SN=QC时，四边形NSCQ为平行四边形．

∵SN∥QC，
∴设SN的解析式为y=2x+b．
∵点C，Q的坐标分别为（2，0），（3，2），
∴点S，N的坐标分别为（0，b），（1，b+2）．
将x=1，y=$\frac{6}{x}$得：y=6，
∴点N的坐标坐标为（1，6）．
∴b+2=6．
解得：b=4．
∴点S的坐标为（0，4）．
如图2所示：当CM=QM，SM=NM时，四边形SCNQ为平行四边形．

∵点C和点Q的坐标分别为（2，0）、（3，2），
∴点M的坐标为（$\frac{5}{2}$，1）．
∵点S的横坐标为0，
∴点N的横坐标为5．
将x=5代入y=$\frac{6}{x}$得；y=$\frac{6}{5}$．
∴点N的坐标为（5，$\frac{6}{5}$）．
∴点S的坐标为（0，$\frac{4}{5}$）．
综上所述，点N的坐标为（5，$\frac{6}{5}$），点S的坐标为（0，$\frac{4}{5}$）；或点N的坐标坐标为（1，6）、点S的坐标为（0，4）．
（4）点M在双曲线上．
理由：设点D的坐标为（x，2x-4）．
∵BD=BQ，
∴（x-0）²+（2x-4-1）²=（3-0）²+（2-1）²．
解得：x₁=1，x₂=3（舍去）．
∴2x-4=-2．
∴点D的坐标为（1，-2）．
∴点G的坐标为（2，-2）．
∴m=2×（-2）=-4．
∴双曲线为y=$\frac{m}{x}$（m＜0）的解析式为y=$\frac{-4}{x}$．
∵点B与点M关于直线AQ对称，
∴点M的坐标为（4，-1）．
∴点M在双曲线y=$\frac{-4}{x}$上．

点评 本题主要考查的是反比例函数的综合应用，解答本题主要应用了平行四边形的判定、翻折的性质、三角形的面积公式、待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式、两点的间的距离公式、线段中点的坐标公式，熟练掌握上述性质是解题的关键．