Question

20．如图，直线y=$\frac{\sqrt{3}}{3}x$+1和x轴、y轴分别交于点A、B．若以线段AB为边作等边三角形ABC，则点C的坐标是（$\sqrt{3}$，2）或（0，-1）．

Answer 1

分析 求出A、B的坐标，得出OA、OB的值，求出∠OAB、∠ABO的度数，分为两种情况：画出图形，①求出AC⊥x轴，由A的坐标和AB的值，根据等边三角形性质即可求出答案；②求出C在y轴上，且OB=OC，根据B的坐标即可求出C的坐标．

解答 解：∵直线y=$\frac{\sqrt{3}}{3}x$+1和x轴、y轴分别交于点A、B，
∵当x=0时，y=1，
当y=0时，x=$\sqrt{3}$，
∴A（$\sqrt{3}$，0），B（0，1），
即OA=$\sqrt{3}$，OB=1，
∵在△AOB中，∠AOB=90°，由勾股定理得：AB=2，
∴∠BAO=30°，∠ABO=60°，
有两种情况：如图1，
∵△ABC₁是等边三角形，
∴AC₁=AB=2，∠CAB=60°，
∵∠BAO=30°，
∴∠C₁AO=90°，
∴C₁点的横坐标和A的横坐标相等，是$\sqrt{3}$，纵坐标是2，
即C₁（$\sqrt{3}$，2）；
如图2，
∵∠ABO=60°，
∴C₂在y轴上，
∵等边三角形ABC，
∴∠BAC=60°，
∵∠BAO=30°，
∴∠OAC=∠BAO=30°，
∴OB=OC=1，
即C的坐标是（0，-1）；
故答案为：（$\sqrt{3}$，2）或（0，-1）．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，分类讨论思想的运用是解题的关键．