Question

11．在△ABC中，∠ACB=90°，以AB为斜边作等腰直角三角形ABD，且点D与点C在直线AB的两侧，连接CD．
（1）如图1，若∠ABC=30°，则∠CAD的度数为105°．
（2）已知AC=1，BC=3．
①依题意将图2补全；
②求CD的长；
小聪通过观察、实验、提出猜想，与同学们进行交流，通过讨论，形成了求CD长的几种想法：
想法1：延长CB，在CB延长线上截取BE=AC，连接DE．要求CD的长，需证明
△ACD≌△BED，△CDE为等腰直角三角形．
想法2：过点D作DH⊥BC于点H，DG⊥CA，交CA的延长线于点G，要求CD的长，需证明△BDH≌△ADG，△CHD为等腰直角三角形．
…
请参考上面的想法，帮助小聪求出CD的长（一种方法即可）．
（3）用等式表示线段AC，BC，CD之间的数量关系（直接写出即可）．

Answer 1

分析 （1）先判断出∠CAD=∠DBE，再利用等腰直角三角形求出∠ABD=45°，进而求出∠CBD，最后用邻补角即可得出结论；
（2）①根据题意及基本作图即可补全图形；
②想法1，构造出△ACD≌△BED，进而判断出△CDE是等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形的性质即可得出解；
想法2，构造出△BDH≌△ADG，进而判断出△CDH是等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形的性质即可得出结论；
（3）同（2）的方法即可得出结论．

解答 解：（1）∵∠ACB=∠ADB=90°，
∴∠CAD+∠CBD═180°．
∵∠DBE+∠CBD═180°，
∴∠CAD=∠DBE．
∵△ADB是等腰直角三角形，
∴∠ABD=45°，
∵∠ABC=30°，
∴∠CBD=∠ABD+∠ABC=75°，
∴∠CAD=∠DBE=180°-75°=105°
故答案为：105°．

（2）①补全图形，如图1所示．
②想法1：
如图2，
∵∠ACB=∠ADB=90°，
∴∠CAD+∠CBD═180°．
∵∠DBE+∠CBD═180°，
∴∠CAD=∠DBE．
∵DA=DB，AC=BE，
∴△ACD≌△BED．
∴DC=DE，∠ADC=∠BDE．
∴∠CDE=90°．
∴△CDE为等腰直角三角形．
∵AC=1，BC=3，
∴CE=4．
∴CD=$2\sqrt{2}$．

想法2：如图2，
∵∠ACB=∠ADB=90°，
∴∠CAD+∠CBD═180°．
∵∠DAG+∠CAD═180°，
∴∠CBD=∠DAG．
∵DA=DB，∠DGA=∠DHB=90°，
∴△BDH≌△ADG．
∴DH=DG，BH=AG．
∴∠DCH=∠DCG=45°．
∴△CHD为等腰直角三角形．
∵AC=1，BC=3，
∴CH=2．
∴CD=$2\sqrt{2}$．

（3）AC+BC=$\sqrt{2}$CD，
理由：如图2，
∵∠ACB=∠ADB=90°，
∴∠CAD+∠CBD═180°．
∵∠DBE+∠CBD═180°，
∴∠CAD=∠DBE．
∵DA=DB，AC=BE，
∴△ACD≌△BED．
∴DC=DE，∠ADC=∠BDE．
∴∠CDE=90°．
∴△CDE为等腰直角三角形．
∴CE=$\sqrt{2}$CD，
∵CE=BC+BE=BC+AC．
即：$AC+BC=\sqrt{2}CD$．

点评 此题是三角形综合题，主要考查了等角的补角相等，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质和判定，解本题的关键是构造出全等三角形，进而判断出△CDE或△CDH是等腰直角三角形，是一道中等难度的中考常考题．