Question

（2007•镇江）画图、证明：如图，∠AOB=90°，点C、D分别在OA、OB上．
（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：作∠AOB的平分线OP；作线段CD的垂直平分线EF，分别与CD、OP相交于E、F；连接OE、CF、DF．
（2）在所画图中，
①线段OE与CD之间有怎样的数量关系：______．
②求证：△CDF为等腰直角三角形．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据题意，作∠AOB的平分线OP；作线段CD的垂直平分线EF；
（2）①由题意，OE是直角三角形斜边上的中线，根据直角三角形的性质直接得到OE=CD；
②△CDF为等腰直角三角形，由EF是垂直平分线容易得到△CDF是等腰三角形，要证明直角三角形比较麻烦，要充分利用△ODE，△OEC是等腰三角形的等角的作用，还有三角形外角的有关结论才能证明．
解答：解：（1）根据题意要求：画∠AOB的平分线OP，作线段CD的垂直平分线EF；

（2）①OE=CD．（4分）
②方法一：∵EF是线段CD的垂直平分线，
∴FC=FD，（5）
∵△COD为直角三角形，E为CD的中点，
∴OE=CE=CD，
∴∠COE=∠ECO．
设CD与OP相交于点G，
∵∠EOF=45°-∠COE，
∠EFO=90°-∠EGF=90°-（45°+∠ECO）=45°-∠ECO，
∴∠EOF=∠EFO，EF=OE．（6分）
又CE=OE=EF，∠CEF=90°，
∴∠CFE=45°，同理∠DFE=45°；
∴∠CFD=90°，△CDF为等腰直角三角形．（7分）

方法二：过点F作FM⊥OA、FN⊥OB，垂足分别为M、N．（5分）
∵OP是∠AOB的平分线，
∴FM=FN．
又EF是CD的垂直平分线，
∴FC=FD．
∴Rt△CFM≌Rt△DFN（HL），∠CFM=∠DFN．（6分）
在四边形MFNO中，由∠AOB=∠FMO=∠FNO=90°，得∠MFN=90°，
∴∠CFD=∠CFM+∠MFD=∠DFN+∠MFD=∠MFN=90°，
∴△CDF为等腰直角三角形．（7分）
点评：此题考查等腰三角形的基本性质及判定定理，利用三角形的角平分线和垂直平分线及底边高三线合一是解题的关键，还要利用三角形外角的关系结论．