Question

13．定义：a是不为1的有理数，我们把$\frac{1}{1-a}$称为a的差倒数．如：2的差倒数是$\frac{1}{1-2}$=-1，-1的差倒数是$\frac{1}{1-（-1）}$=$\frac{1}{2}$．已知a₁=-$\frac{1}{3}$，a₂是a₁的差倒数，a₃是a₂的差倒数，a₄是a₃的差倒数．
（1）计算：a₂=$\frac{3}{4}$，a₃=4．
（2）这列数有什么规律？根据你发现的规律计算a₂₀₁₅的值．

Answer 1

分析 （1）根据规定的运算方法，依次计算出a₂、a₃；
（2）进一步计算出把a₄、a₅，即可发现每3个数为一个循环，然后用2015除以3，根据规律，即可得出答案．

解答 解：（1）a₂=$\frac{1}{1-（-\frac{1}{3}）}$=$\frac{3}{4}$，a₃=$\frac{1}{1-\frac{3}{4}}$=4；
（2）a₄=-$\frac{1}{3}$，
a₅=$\frac{3}{4}$，
…
规律：这列数以-$\frac{1}{3}$，$\frac{3}{4}$，4三个数依次不断循环出现；
2015÷3=671…2，
a₂₀₁₅=a₂=$\frac{3}{4}$．

点评 此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题．