Question

6．如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E．连接ED，若ED=EC．
（1）求证：AB=AC；
（2）填空：①若AB=6，CD=4，则BC=4$\sqrt{3}$；
②连接OD，当∠A的度数为60°时，四边形ODEB是菱形．

Answer 1

分析 （1）由等腰三角形的性质得到∠EDC=∠C，由圆内接四边形的性质得到∠EDC=∠B，由此推得∠B=∠C，由等腰三角形的判定即可证得结论；
（2）连接AE，由AB为直径，可证得AE⊥BC，由（1）知AB=AC，证明△CDE∽△CBA后即可求得BC的长；
（3）根据等边三角形的性质得到∠BAE=30°，根据直角三角形的性质得到BE=$\frac{1}{2}$AD=BO，由菱形的判定定理即可得到结论．

解答 （1）证明：∵ED=EC，
∴∠EDC=∠C，
∵∠EDC=∠B，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC；

（2）解：①连接AE，
∵AB为直径，
∴AE⊥BC，
由（1）知AB=AC=6，
∵∠C=∠C，∠CDE=∠B，
∴△CDE∽△CBA，
∴$\frac{CD}{CB}$=$\frac{CE}{AC}$，
∴$\frac{4}{BC}$=$\frac{\frac{1}{2}BC}{6}$，
∴BC=4$\sqrt{3}$，
故答案为：4$\sqrt{3}$；

（3）当∠A=60°时，四边形ODEB是菱形，
∵∠A=60°，
∴∠BAE=30°，
∵∠AEB=90°，
∴BE=$\frac{1}{2}$AD=BO，
∴BE=DE=OB=OD，
∴四边形ODEB是菱形，
故答案为：60°．

点评 本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．