Question

（2009•自贡）已知一次函数y=-

k

k+1

x+

1

k+1

（k=1，2，3，…，n）的图象与坐标轴所成的直角三角形面积为S₁，S₂，S₃，…，S_n，则S₁+S₂+S₃+…+S₂₀₀₉=

2009

4020

．

Answer 1

分析：依次把k代入一次函数解析式，进而求得与坐标轴的交点，求得三角形的面积，找到相应的规律，相加即可．

解答：解：当k=1时，一次函数为y=-

1

2

x+

1

2

，与x轴的交点为（1，0），与y轴的交点为（0，

1

2

），S₁=

1

2

×1×

1

2

；
当k=2时，一次函数为：y=-

2

3

x+

1

3

，与x轴的交点为（

1

2

，0），与y轴的交点为（0，

1

3

），S₁=

1

2

×

1

2

×

1

3

；
当k=3时，一次函数为：y=-

3

4

x+

1

4

，与x轴的交点为（

1

3

，0），与y轴的交点为（0，

1

4

），S₁=

1

2

×

1

3

×

1

4

；
…
当k=2009时，一次函数为：y=-

2009

2010

x+

1

2010

，与x轴的交点为（

1

2009

，0），与y轴的交点为（0，

1

2010

），S₁=

1

2

×

1

2009

×

1

2010

；
∴S₁+S₂+S₃+…+S₂₀₀₉=

1

2

×（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2009

-

1

2010

）
=

1

2

×

2009

2010

=

2009

4020

．
故答案为：

2009

4020

．

点评：综合考查一次函数的知识；得到S₁，S₂…的面积的规律是解决本题的关键；掌握相应分数的计算规律是解决本题的难点．